Ceros y sus multiplicidades

Ceros Complejos de Funciones Polinomicas

Ceros: Reglas de un Polinomio

Teorema del número de ceros:

- Una función polinómica no puede tener un número de ceros mayor que su grado.

Teorema Regla de Descartes para los signos:

-Sea f(i) una función polinómica.

El número de ceros reales positivos de f(i) es igual al número de variaciones en los signos de los coeficientes distintos de cero de f(x) o igual al número natural par.

El número de ceros reales negativos de f(x) es igual al número de variaciones en los signos de los coeficientes distintos de cero de f(-x)  o igual al número de variaciones menos un número natural.

Teorema de ceros racionales:

-Si el polinomio p(x) tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional de p es de la forma p/q donde p es un factor del coeficiente constante y q es un factor del coeficiente principal.

Ejemplo:

Division Sintetica

Teorema del Factor

El binomio (x-c) es un factor de la funcion polinomica f(x) si y solo si f(c)=0
Observacion:
Si c es un cero del polinomio entonces x-c es un factor. Cada cero gener un factor y viceversa.

Funciones Polinomiales

Funciones Polinomiales

Normas para graficar funciones Polinomiales:

1.    Ceros. Factorizar el polinomio para hallar todos sus ceros reales; estas son las intersecciones con el eje x de la gráfica.

2.    Puntos de Prueba. Construir una tabla de valores para el polinomio.

3.    Comportamiento Extremo. Determina el comportamiento extremo mediante una tabla de signos.

4.    Gráfica. Trace las intersecciones y otros puntos que encontró en la tabla. Bosqueje una curva lisa que pase por estos puntos.

Ejemplo: f(x)= x³ – 2x² – 3x

A.   Ceros:

f(x)= x³ – 2x² – 3x

       = x (x² – 2x – 3)

       = x (x – 3)(x + 1)

x₁ = 0

x₂ = -1

x₃ = 3

B.   Tabla de Valores

          x / y

-2	-10
-1	0
0	0
1	-4
2	-6
3	0
-1.5	-3.4

C.    Comp. Extremo

Int.	x	Evaluar f(x)	Comportamiento
(-∞, -1)	-2	−	ê
(-1, 0)	-0.5	+	é
(0, 3)	1	−	ê
(3, ∞)	4	+	é

D.   Gráfica

Funciones polinomiales y sus gráficas

Una función polinomial de grado n es función de la forma:

•Donde n es un entero no negativo y a≠0.

•Los números a₀, a₁, a₂…a_n, se llaman coeficientes del polinomio.

•El número a₀, es el coeficiente constante o término constante.

Ejemplos de funciones polinomiales: 

Gráficas de polinomios:

Las gráficas de polinomios de grado 0 ó 1, y las gráficas de polinomios de grado 2 son parábolas. Mientras mayor sea el grado del polinomio, más complicada será la gráfica. Sin embargo, la gráfica de una función polinomial es siempre una curva lisa, es decir, no tiene discontinuidad en las esquinas.

Función polinomial de grado impar:

      

Función polinomial de grado par: