Tema: Ecuaciones Cuadráticas y Exponentes Racionales

Ecuaciones con Radicales

Ecuaciones Cuadráticas

Hoy repasamos lo que son las ecuaciones cuadráticas. De ahora en adelante para los exámenes podemos resolver estas ecuaciones con cualquiera de las formas que existen.

Las formas son:

·        Factorización

·        Raíz cuadrada

·        Completando el cuadrado

·        Formula cuadrática

*Las formas de completando el cuadrado y fórmula cuadrática se pueden utilizar para resolver cualquier ecuación, mientras que para usar las formas de factorización y raíz cuadrada se tiene que verificar primero si la ecuación lo permite.

Ejemplos:

1)    x² +5x=24

x²+5x-24=0

(x-3)(x+8)=0

x-3=0 |x+8=0

x=3     |   x= -8

C.S.= {3, -8}

2)    x²-8x+13=0

a=1  b= -8  c=13

x= 8 ± √(-8)²-4(1)(13)

                2(1)                                                                                         

x=8 ± √64-52

           2

x= 8 ± √12

        2

x= 8 ± 2√3

        2

x= 2(4 ± √3)

           2

x₁= 4+√3

x₂= 4-√3

3)    2x²-4x+5=0

a=2   b= -4   c=5

x= 4 ± √(-4)²-4(2)(5)

                2(2)

x=4 ± √16-40

           4

x= 4 ± √-24

          4

x= 4 ± 2√6i

           4

x= 2(2 ± √6i)

           2 (2)

x= 2 ± √6i

          2

x₁= 2 + √6i

          2

x₂= 2 - √6i

          2

En los ejemplos anteriores se puede ver como se usan las formas de factorización y fórmula cuadrática.

 

Ecuaciones literales: Ecuaciones con mas de una variable (formulas)

Ejemplos:

1. ax + b² = a² – bx

ax + bx = a² – b²

x(a+b) = (a+b)(a-b) 

a+b             a+b

x= a-b

2. a(x+b) + x(b-a) = 2b(2a-x)

ax + ab + xb – ax = 4ab – 2bx

xb + 2bx = 4ab – ab

x(3b) = 3ab

3b          3b

x=a

3. m/x + n/m = n/x + 1

m/x – n/x = - n/m + 1

^xm [m-n/x] = [-n/m + 1] ^xm

m(m-n) = x( -n + m)

m-n                 m-n

m = x 

4. ¾ ( x/b + x/a) = 1/3 (x/b – x/a) + 5a + 13b/ 12a

^12ab (3x/ 4b + 3x/4a) = (x/3b – x/3a + 5a +13b/12a) ^12ab

9xa + 9xb = 4xa – 4xb + 5ab + 13b²

9xa + 9xb – 4xa + 4xb = 5ab + 13b²

5ax + 13xb = 5ab + 13b²

x ( 5a + 13b) = b( 5a + 13b)

5a+13b                     5a+13b

x=b

Ecuaciones con una sola variable, ecuaciones literales

Hoy empezamos con los diferentes tipos de ecuaciones que lo son:
- Ecuaciones Linelaes
- Ecuaciones Cuadráticas
- Ecuaciones con Desigualdades
- Inecuaciones
- Ecuaciones con valor absoluto

Dieron  ejemplos de las: *lineales
                                     *racionales


* Ecuaciones Lineales:

1) 1/2x + 5/3 = 2/3x – 5/4

= 1/2x – 2/3x = 5/4 – 5/3

=3x/6 – 4x/6 = -15/12 – 20/12

=-6 (-1/6x) = ( -35/12) -6

X= 35/6

2) 3/5  + 5x/5 = 4/7 - x/7
= 35( 3/5 + 5x/5) = ( 4/7 - x/7) 35
= (3 + 5x) = 5(  4-x)
= 21 + 35 = 20 - 5x
= 40x/40 = -1/40
x= -1/40

*Ecuaciones Racionales

1) 2/5 + 4/10x+5 = 7/2x+1
= 5(2x+1) {2/7 + 4/5(2x+1)} = {7/2x+1} 5(2x+1)
= 2(2x+1) + 4 = 35
= 4x + 2 + 4 = 35
= 4x = 35-6
= 4x/4 = 29/4
x= 29/4

2) 1/3x-3 + 1/4x +1 = 1/ 12x - 1
= 12( x-1) (x+1) { 1/3x-3 + 1/4x + 1) = { 1/ 12x-1} 12( x-1) (x+1)
= 4 ( x+1) + 3( x-1) = x+1
= 4x + 4 + 3x-3 = x+1
= 7x + 1 = x + 1
= 6x/6 = 0/
x=0

Números Complejos: División



Números Complejos: División

  En el dia de hoy estuvimos continuando el tema de ayer de los numeros complejos pero esta vez añadimos la división al tema. 

Ejemplo:

a + bi / c + di

= a + bi/c + di  x  c - di/c - di

= ac - adi + cbi - bdi² / (c)² - (di)²

= ac – adi + cbi + bd/c² + d²

= (ac + bd) + (-ad + cb)i/c² + d²

Ejercicio:

4i / 5 - 3i

= 4i/5 - 3i   x   5 + 3i/5 + 3i

= 20i + 12i² / (5)² – (3i)²

= 20i – 12/25 + 9

=20i – 12/34

= 20i/34 – 12/34

= -6/17 + 10i/17